人力飛行機学徒のための安定性・操縦性練習問題その1 -縦トリム-

人力飛行機の性能を簡単にまとめた話はよく見るものの（必要パワが何ワット、とか）、安定性・操縦性に関する練習問題みたいなものがインターネット上で簡単に手に入らないのが長年やや不満であった。不満の原因は単に自分の趣味的に安定性・操縦性のほうにより興味があるからというだけではなく（もちろんそれも多いけれど）、安定性・操縦性をあまり考慮せずに作られて設定された飛行機が鳥人間コンテストで琵琶湖に落ちるのを見て悲しくなったからというのもある。何ワットで素晴らしい設計です！と言いながらまっすぐ飛べずに落ちる飛行機は果たしていい飛行機だろうか。

御託を並べると単なる老害になってしまうので、最近読んでいる本に書いてあった練習問題のパラメタを人力飛行機用にややアレンジして練習問題をこの日記にひとつずつ載せていきたいと思う。そうすることで池ポチャする飛行機がひとつでももし減ったらそれほどうれしいことはない。

練習問題1 縦トリム
解答

練習問題1 縦トリム

次の諸元の人力飛行機について、速度を6m/sから12m/sまで変化させたときに飛行機をトリムさせるために必要な水平尾翼の舵角および機体の迎角を求めよ。諸元はWindnautsのWebsiteから2011年の機体から引用させて頂きました。

主翼の面積 $S_w$=311 ft²
翼幅$b_w$=110 ft
主翼の揚力係数傾斜$C_{LW_{\alpha}}$=5.79
主翼のゼロ揚力角$\alpha_{L0W}$=-6.5 deg
主翼の取り付け角$i_W$=4.2deg
主翼の空力中心周りのピッチングモーメント係数$C_{mW}$=-0.14
水平尾翼の面積$S_h$=22 ft²
水平尾翼の翼幅$b_h$=12 ft
水平尾翼の揚力係数傾斜$C_{Lh_{\alpha}}$=4.93
主翼空力中心から重心までの距離$l_w$=0.31 ft
主翼空力中心から水平尾翼空力中心までの距離$l_h$=17 ft
重量$W$=212 lbs

ただし、下記の仮定を用いてよい。

水平尾翼の翼型は対称である
水平尾翼全体が回転するフライングテールの機体である
機体重心は主翼の空力中心より後ろにある
主翼の空力中心および水平尾翼の空力中心は胴体の基準線上にある。
機体の迎角は胴体の基準線から測る。
プロペラが起こす推力に起因するモーメントは無視できる
胴体が起こすピッチングモーメントは無視できる
尾翼効率$\eta_h$は1としてよい。ここで、尾翼効率は一様流の動圧と水平尾翼の動圧の比である。
水平尾翼に当たる吹きおろしは、下記の通り与えられる

$$\epsilon_{d}=0.6\frac{C_{L_{W}}}{R_{A_{W}}}$$

水平飛行時の揚力方向の力のつり合いおよびピッチングモーメントのつり合いは下記の式で与えられる。画面が小さくて式が後ろまで表示されない場合は、携帯の場合は横にすれば見える。パソコンで見れば問題なく表示されるので試してみてほしい。

$$C_{LW_{\alpha}}(\alpha + i_{W} – \alpha_{L0W}) + \frac{S_h}{S_W}\eta_{h} C_{Lh_{\alpha}}[(1-\epsilon_{d_{\alpha}}) \alpha + i_{h} – \epsilon_{d0}]=\frac{W}{\frac{1}{2} \rho V^2_{\infty} S_{W}}$$

$$C_{mW}-\frac{l_W}{\overline{c}_W} C_{LW_{\alpha}}(\alpha + i_{W} – \alpha_{L0W}) -\frac{S_h l_h}{S_W \overline{c}_W} \eta_h C_{Lh_{\alpha}}[(1-\epsilon_{d_{\alpha}}) \alpha + i_{h} – \epsilon_{d0}]=0$$

ここで、

$i_{h}$: 水平尾翼取り付け角
$\overline{c}_W$: 主翼平均翼弦

解答は下記より見られるけれど、自分でちょっと解いてみてください。

解答

上記の揚力方向のつり合いの式およびピッチングモーメントのつり合いの式を整理すると、

$$
\left[
\begin{array}{ccc}
C_{L_{\alpha}}& C_{L_{i_{h}}}\\
C_{m_{\alpha}}& C_{m_{i_{h}}}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{ccc}
\alpha \\
i_h
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
C_W – C_{L0}\\
-C_{m0}
\end{array}
\right]
$$

ここで、

$$C_{L_{\alpha}}=C_{LW_{\alpha}}+\frac{S_h}{S_W}\eta_{h} C_{Lh_{\alpha}}(1-\epsilon_{d_{\alpha}})$$

$$C_{L_{i_{h}}}=\frac{S_h}{S_W}\eta_{h} C_{Lh_{\alpha}}$$

$$C_{m_{\alpha}}=\frac{l_W}{\overline{c}_W} C_{LW_{\alpha}} +\frac{S_h l_h}{S_W \overline{c}_W} \eta_h C_{Lh_{\alpha}}(1-\epsilon_{d_{\alpha}})$$

$$ C_{m_{i_{h}}}=\frac{S_h l_h}{S_W \overline{c}_W} \eta_h C_{Lh_{\alpha}}$$

$$C_W=\frac{W}{\frac{1}{2} \rho V^2_{\infty} S_{W}}$$

$$C_{L0}=C_{LW_{\alpha}}(i_W-\alpha_{L0W})-\frac{S_h}{S_W}\eta_{h} C_{Lh_{\alpha}} \epsilon_{d0}$$

$$C_{m0}=C_{mW} – \frac{l_W}{\overline{c}_W} C_{LW_{\alpha}}(i_W-\alpha_{L0W})-\frac{S_h l_h}{S_W \overline{c}_W}\epsilon_{d0}$$

吹きおろし傾斜$\epsilon_{d_{\alpha}}$を求めるため、与えられた吹きおろしの式を偏微分すると、

$$\epsilon_{d_{\alpha}}=\frac{\partial \epsilon_d}{\partial \alpha}=0.6\frac{1}{R_{A_{W}}} \frac{\partial C_{LW}}{\partial \alpha}=0.6\frac{C_{LW_{\alpha}}}{R_{A_{W}}}$$

また、$\alpha=0$での吹きおろし$\epsilon_{d0}$は、次の式により求まる。

$$\epsilon_{d0}=0.6\frac{C_{LW_{\alpha}} (i_W-\alpha_{L0W})}{R_{A_{W}}}$$

上記より、数値を代入して次式を得る。

$$
\left[
\begin{array}{ccc}
6.11& 0.349\\
1.27& 2.10
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{ccc}
\alpha \\
i_h
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
C_W-1.08\\
-0.0143
\end{array}
\right]
$$